自從十九世紀中期，黎曼等人推翻了兩千多年來顛撲不破的平行公設後，數學家們明白不能再憑直覺接受所謂不證自明的公設或定理，決心從地基開始，重新打造完美無瑕的數學體系。希爾伯特在一九二○年代提出的「希爾伯特計劃」明白地訂出目標：用嚴格的形式化語言表達所有數學陳述，並能滿足完備性與一致性。

所謂完備性就是指系統內的合法陳述都能被證明真偽，而一致性則是要求這個系統不能推導出互相矛盾的結論。這不是應有的基本要求嗎？是沒錯，在有限度的範圍內或許沒問題，但是要確保一個完整的體系完全滿足這兩個條件可不容易，如前面所說，不能再任意定出一些公設，必須小心翼翼地確定每一步都在堅實的水泥地上；所以羅素與懷海德才會花了十年的時間只完成《數學原理》的前三冊，而其中光證明1+1=2就花了362頁！

即使困難，大家仍樂觀地努力追尋這個聖杯，就像希爾伯特1930年退休時發表演說的結語詞：「我們必須知道，我們將會知道！」

不料，就在第二年，25歲的年輕奧地利數學家哥德爾發表了一篇石破天驚的論文。他證明了任何一個足夠強的公設系統不可能同時具有一致性與完備性，也就是具有一致性的系統必定存在無法證明真偽的陳述；而且這個系統無法證明本身的一致性（只能從系統外部證明它沒自相矛盾）。

這個「哥德爾不完備定理」摧毀了數學界與哲學界的一貫信念，正式宣判聖杯只是幻影，任何努力只是徒勞，大家可以散矣！馮·紐曼聞之當下即嘆：「一切都結束了。」

哥德爾因此躋身大師之列，卻始終孤僻沈默。二次大戰爆發後，他也逃離德國，來到普林斯頓研究所，與大他27歲、個性大相逕庭的愛因斯坦成為摯友，常可看見兩人一起散步校園的身影。愛因斯坦晚年曾說自己的工作沒啥意思，進研究室就只為了有榮幸同哥德爾一起散步回家。而哥德爾竟也研究起物理，還得出廣義相對論中一個允許時間旅行回到過去的解。

哥德爾晚年得了嚴重的妄想症，老懷疑別人要毒害他，只肯吃妻子親手作的食物。但她於1977年中病倒住院後，哥德爾就只吃簡單的食物，拒絕朋友的探訪。等到被強迫送到醫院時，體重僅剩30公斤，最後於1978年1月14日因營養不良而器官衰竭過世。堪稱亞里斯多德以降最偉大的邏輯學家，就這麼孤獨地與世長辭。

資料引用於：http://history.pansci.asia/

今天分享的故事告訴我們，天才與瘋子真的只是在一線之間！

虛實偶爾是很難界定的

其實我們日常生活的數字都是虛擬的表徵
但是卻實際存在生活的應用

當我們沈溺於數學虛擬的王冠和聖杯中
就讓我們忘記現實不存在完美的蘋果
而由人定義的數學
就會繼承人的缺點
所以不需要使它完美
而是把它調整在可以讓人接受的範圍

能將虛擬搬到現實
那是天才還是瘋子
或許終究會有完美的蘋果
可是那終究不是一般人追尋的

jkjkjk110 發表於 2019-4-28 18:46
虛實偶爾是很難界定的

其實我們日常生活的數字都是虛擬的表徵

好友說的好，由人定義的數學，就會繼承人的缺點。

但是大自然的物理現象卻是完美的，就好像萬用引力以及靜電力都是反平方定律。

解釋物理現象需要很多的數學來做描述，譬如說為了解釋克卜勒行星三大運動定律，那麼物體之間的吸引力必須和距離平方成反比。

牛頓為了要解釋兩個物體之間的距離是物體的質心之間的距離，故而發明了微積分。

至於為了「一致性」導致證明1+1=2要花了362頁，在我看來這就是數學家為了追求完美的缺點！

得到妄想症就是因為沒有作家事

deeperinloveu 發表於 2019-4-28 22:37
得到妄想症就是因為沒有作家事

哈，Grace的聯想力太豐富了。

像這種不出世的數學及邏輯天才，恐怕做再多家事也沒有用。

這讓我想到了一部電影：A Beautiful Mind，John Nash的故事。

John Nash也是數學家，因為賽局理論得到諾貝爾經濟學獎，但一輩子受精神分裂症之苦。

人還是不要太聰明，平凡就是福！

當我看到以上提到 1 + 1 = 2 需要362頁的論証, 就立即大叫: 媽呀! 肯好我們唸數學時無需重新再証明一次, 否則 不知道 會有多少人能捱得過 期考了...

dilman 發表於 2019-4-29 20:28
當我看到以上提到 1 + 1 = 2 需要362頁的論証, 就立即大叫: 媽呀! 肯好我們唸數學時無需重新再証明一次, 否 ...

這是數學家為了揚名立萬才會做這種事，否則1 + 1 = 2 這個是我們人類約定成俗的規則，不需要證明。