英國的海岸線有多長？這個由波蘭裔數學家曼德博在1967年的論文中所提出，乍看之下應該去問地理學家的簡單問題，不但有個出人意表的答案，還開啟了一個全新的數學分支──碎形，它將應用在各種不同領域，挖掘出複雜表象下的共同型態。

事實上，當時大概沒有多少人同意曼德博可以稱為數學家，雖然他拿的是數學博士，但並未留在學術圈，而是選擇落腳在IBM的研究中心。除了幫工程師分析電腦通訊的雜訊問題之外，他的研究範圍看來也雜亂無章，從收入高低的分布、棉花的歷史價格，到河川氾濫的頻率、語言結構，根本就像個漫無目標的野武士。但曼德博內心覺得其中隱約還是有某種關聯，他順從直覺，繼續鑽研。

然後有一天，一切都變得有意義。雜訊頻率、收入分布、棉花價格、氾濫次數，這些看似毫無交集的歷史數據用電腦繪製出來後，竟出現驚人的共通性！它們的數字高高低低難以預測，但它們在不同尺度上都宛如自我模仿般呈現極為相似的曲折變化。以雜訊來說，無論是以每小時或是每十分鐘、每分鐘為單位，所畫出來的曲線圖看起來都毫無二致；換個說法，想像你在平板電腦上把曲線圖的某一區間放大，接著再任選一段放大……，無論在哪個階段所看到的圖形幾乎都一樣。

曼德博在1975年將具有這種特性的幾何結構命名為「碎形」。回到一開始的問題，英國的海岸線有多長？這要看你的量尺長短而定。因為海岸線也是碎形，只要量尺夠小，你就可以一直往下量，長度就會無限延長（注意：並非收斂級數喔），直到分子的尺度為止。

碎形處處可見。河流、樹枝、血管由粗到細的分歧與擴展是碎形幾何；地震、心跳、股市也是依碎形規律分布。於是地質學家、生物學家、物理學家、化學家、大型工業、金融機構都紛紛運用碎形來分析研究的對象。曼德博不但在實務面成為搖滾巨星，在學術圈，他也因為開創碎形幾何，並且另闢研究方法，利用電腦將資料視覺化以提升洞察力，而從一個不被正視的邊緣人物搖身一變成為學術研究的先驅。

資料引用於：http://history.pansci.asia/

曼德博在1960~70年代研究複雜性時，發展出碎形幾何學。他稱之為「碎形」乃源自拉丁字“fractus”，意在彰顯這些形狀的破碎與不規則。

碎形會展現自相似性。這也就是說，無論如何放大它們，都長得很相似；一個結構的一小部份，看起來就像整體一樣。

好像十多年前 , 天下文化所出版的(混沌)一書中 , 有這碎形的介紹 .  

費波南西 發表於 2018-11-20 09:59
好像十多年前 , 天下文化所出版的(混沌)一書中 , 有這碎形的介紹 .

碎形與混沌的確相關。碎形幾何學是由拓樸學發展出來的一門新科學，但自從在自然科學界發現了大量的碎形結構及混沌現象，同時此一發現與自然界許多的複雜及異常現象相符，於是漸漸受到科學界的重視。

自從曼德博發表「英國的海岸線有多長？」的論文後，四十年間，碎形幾何，與混沌理論，複雜性科學共同匯合，試圖解釋過去科學家們所忽略的非線性現象，與大自然的複雜結構，把觸角伸入，除了物理、化學之外的生理學、經濟學、社會學、氣象學，乃至於天文學所談及的星體分布。

732 發表於 2018-11-20 11:06
自從曼德博發表「英國的海岸線有多長？」的論文後，四十年間，碎形幾何，與混沌理論，複雜性科學共同匯合， ...

英國的海岸線有多長？

海岸線總長11450公里。

英國由不列顛島（包括英格蘭、蘇格蘭、威爾士）以及愛爾蘭島東北部的北愛爾蘭和周圍5500個小島（海外領地）組成.英國本土位於歐洲大陸西北面的不列顛群島,被北海、英吉利海峽、凱爾特海、愛爾蘭海和大西洋包圍.英格蘭地區13.04萬平方公里,蘇格蘭7.88萬平方公里,威爾士2.08萬平方公里,北愛爾蘭1.36萬平方公里.位於歐洲西部的島國.隔北海、多佛爾海峽、英吉利海峽與歐洲大陸相望. 陸界與愛爾蘭共和國接壤.海岸線總長11450公里。

有點深奧 ....

碎形對於一般人而言不太容易理解
但是｢碎形藝術｣倒是蠻吸引人的
感謝好友分享